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柯西判定(什么是柯西准则)

导读 大家好,萱萱来为大家解答以下的问题,关于柯西判定,什么是柯西准则这个很多人还不知道,那么现在让我带着大家一起来看看吧!柯西准则:在...

大家好,萱萱来为大家解答以下的问题,关于柯西判定,什么是柯西准则这个很多人还不知道,那么现在让我带着大家一起来看看吧!

柯西准则:在大于某个特定的项数n之后,任选两个项的绝对值总会小于一个数(该数值不确定,但恒大于零),则这个数列就是基本数列(收敛数列)。

数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,总存在正整数N,使得当m>N,n > N时,且m≠n,有我们把满足该条件的{x}称为柯西序列,那么上述定理可表述成:数列{x}收敛,当且仅当它是一个柯西序列。

该准则的几何意义表示,数列{x}收敛的充分必要条件是:该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近,即足够靠后的任意两项都无限接近。

扩展资料:柯西准则证明必要性设 ,则 ,当m,n>N时,有那么,2、充分性由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一,所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。

首先证明柯西序列是有界的。

根据柯西序列的定义,对任意ε>0,存在正整数N,当m,n>N时,有|xn-xm|<ε。

于是取m=N+1,则当n>N时,|xn-xN+1|<ε。

解得xN+1-εN时,{xn}既有上界又有下界,所以是有界的。

向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身,则由于前N项都是确定的实数,不会改变{xn}的有界性(即使此时{xn}的上、下界发生变化)。

故对任意正整数n,{xn}都是有界的。

其次证明柯西序列收敛。

设{xn}⊆[a,b],有一个实数集A,A中的任一元素c满足:区间(-∞,c)中最多有{xn}中的有限项(注意用词“最多”,意味着可以有0项),而{xn}中的无限项都落在[c,+∞)。

并把A在R中的补集设为B,则:①由取法可知a∈A,并且显然b∈B。

即A和B都是非空数集。

②A∪B=R。

③根据集合A、B的定义,A中任意元素都小于B中的任意元素。

由戴德金定理得,存在唯一实数η,使η要么是A中的最大值,要么是B中的最小值。

因为η是A和B的分界点所以④由A的定义可知, 根据已知条件,当m,n>N时,|xn-xm|<ε于是xm-ε

联立④中的不等式,可得到η-2ε

也就是当n>N时,不等式|xn-η|<2ε成立所以参考资料来源:百度百科-柯西极限存在准则。

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