第二次数学危机的实质是什么（第二次数学危机是什么）

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1、第二次数学危机 第二次数学危机早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。

2、古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。

3、这造成数与量的长期脱离。

4、古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。

5、他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。

6、第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。

7、因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。

8、这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。

9、而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。

10、第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时问间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。

11、第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。

12、这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。

13、当然他们无法解决这些矛盾。

14、希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。

15、它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。

16、到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。

17、经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。

18、牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。

19、他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。

20、由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。

21、同时关于微积分基础的问题也越来越严重。

22、以求速度为例，瞬时速度是δs/δt当δt趋向于零时的值。

23、δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。

24、这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。

25、十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。

26、如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。

27、更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。

28、但也因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。

29、十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。

30、一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。

31、它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

32、波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。

33、柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。

34、他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

35、在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。

36、十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。

37、同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。

38、这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。

39、由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。

40、这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。

本文分享完毕，希望对大家有所帮助。

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