自然数整数有理数无理数的区别（自然数整数有理数实数）

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1、自然数（natural number） 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。

2、 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。

3、自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。

4、自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。

5、自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述整数（Integer）序列…，-2，-1，0，1，2，…中的数称为整数．整数的全体构成整数集，它是一个环，记作Z（现代通常写成空心字母Z）．环Z的势是阿列夫0．在整数系中,自然数为正整数,称0为零,称-1,-2,-3,…,-n,… 为负整数.正整数,零与负整数构成整数系. 正整数是从古代以来人类计数(counting)的工具.可以说,从「一头牛,两头牛」或是「五个人,六个人」抽象化成正整数的过程是相当自然的.事实上,我们有时候把正整数叫做自然数(the natural numbers). 零不仅表示「无」,更是表示空位的符号.中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件.印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(sunya)字,其原意也是「空」或「空白」. 中国最早引进了负数.《九章算术.方程》中论述的「正负数」,就是整数的加减法.减法的需要也促进了负整数的引入.减法运算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然数,则所给方程未必有自然数解.为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系. 正整数,零,和负整数合称整数(the integers).整数是人类能够掌握的最基本的数学工具.十九世纪德国伟大数学家 Kronecker因此说:「只有整数是上帝创造的,其他的都是人类自己制造的.」有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比，通常写作 a/b。

6、包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

7、这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

8、如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

9、有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。

10、全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

11、有理数集是实数集的子集。

12、相关的内容见数系的扩张。

13、有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使 0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律 ab=ba；⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

14、⑩0a＝0此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。

15、有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。

16、由此不难推知，不存在最大的有理数。

17、实数包括有理数和无理数。

18、其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。

19、数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

20、本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

21、实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。

22、实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。

23、而 R^n 表示 n 维实数空间。

24、实数是不可数的。

25、实数是实分析的核心研究对象。

26、实数可以用来测量连续的量。

27、理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

28、在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。

29、在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

30、①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a ②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a ②a为0时， |a|=0 ③a为负数时，|a|=-a ③倒数 （两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0）。

本文分享完毕，希望对大家有所帮助。

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